Xét ΔJHF vuông tại H và ΔKIG vuông tại I có

HF=IG

góc JFH=góc KGI

=>ΔJHF=ΔKIG

=>HF=IG

Xét tứ giác JHKI có

JH//KI

JH=KI

=>JHKI là hình bình hành

=>HL=LI

FH+LG=IG+LQ=IL=HL

a, xét tma giác MNE và tam giác MPE có :

MN = MP và góc MNE = góc MPE do tam giác MNP cân tại M (Gt)

NE = EP do E là trđ của NP (gt)

=> tam giác MNE = tam giác MPE (c-g-c)

=> góc MEN = góc MEP (đn)

mà góc MEN + góc MEP = 180 (kb)

=> góc MEN = 90

=> MN _|_ NP và có M là trđ của PN (Gt)

=> ME là trung trực của NP (đn)

b, xét tam giác MKE và tam giác MHE có : ME chung

góc NME = góc PME do tam giác MNE = tam giác MPE (Câu a)

góc MKE = góc MHE = 90

=> tam giác MKE = tam giác MHE (ch-cgv)

=> MK = MH (đn)

=> tam giác MHK cân tại M (đn)

=> góc MKH = (180 - góc NMP) : 2 (tc)

tam giác MNP cân tại M (Gt) => góc MNP = (180 - góc NMP) : 2 (tc)

=> góc MKH = góc MNP mà 2 góc này đồng vị

=> KH // NP (đl)

c) Xét tứ giác FMHN có 

\(\widehat{NFM}=90^0\)

\(\widehat{FNH}=90^0\)

\(\widehat{FMH}=90^0\)

Do đó: FMHN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Hình chữ nhật FMHN có đường chéo FH là tia phân giác của \(\widehat{NFM}\)(gt)

nên FMHN là hình vuông(Dấu hiệu nhận biết hình vuông)

hơi khó nhìn chút :< sorry

a, EH _|_ BD (GT)

 CD _|_ BD (GT)

=> CD // EH (tc)

=> góc HEB = góc ACB (đồng vj)

góc ACB = góc ABC do tam giác ABC cân tại A (gt)

=> góc HEB = góc ABC 

xét tam giác BFE và tam giác EHB có : BE chung

góc BFE = góc EHB = 90 

=> tam giác BFE = tam giác EHB (ch-gn)

b,  tam giác BFE = tam giác EHB (câu a)

=> EF = BH (đn)            (1)

xét tứ giác HDGE có góc EHD = góc HDG  = góc DGE = 90 

=> HDGE là hình chữ nhật (dh )

=> HD = EG 

BH + HD =  BD     và (1)

=> EF + EG = BD 

c, 

Xin hình của t thiếu điểm H =V cậu có thể thêm H trên điểm E  và điểm J  dưới F

a.Vì HE||DG và \(\perp BD\)

=>BEH^=BCA^ (đồng vị)

=>\(\Delta ABC\) cân tại A => ^ABC=^BCA

=>^ABC=^BEH hay ^FBE=^HEB

Xét hai t/g vuông t/gHBE và t/gFEB ta có:

BE chung => ^FBE=^HEB

=>t/gHEB=t/gFBH (cạnh huyền- góc nhọn)

đpcm.

b)

theo câu a ta có:t/gHBE=t/gFEB

=> EF=BH

EG||HD và \(\perp AC\)

=>EH||DG cùng _|_ BD

=>EG=HD

=>EF+EG=BH+HD=BD

=>đpcm

c)Kẻ FJ||AC ( j E BC)

=>^BJF=^BCA (so le trong)

=> ^BJF=^ABC

=>^BJF=^ABC⇒ ΔBJF cân tại F => FB = FJ mà FB=KJ=>KC=FJ

Xét t/IFJ và t/gAIK ta có:

^IFJ=^IKC (so le trong)=KC=^IJF=^ICK(so le trong)

=> t/g IFJ=I t/gKC (c.g.c) => ÌF=IK

=> I là trung điểm của FK

đpcm.

d) 

t/gEGH có EH _|_ EG (do EH|| AC, EG _|_ AC) => t/gEGH vuông tại E

Để t/gEGH vuông cân thì EG = EH  

=> ta đã có EH = DG (tính chất đoạn chắn)

=>EG=DG=>t/gEDG vuông tại G

=>^GDE=^EDB=45^o

=>^GDE=^EDB=45^o

=>Cách xác định điểm E

Kẻ BD_|_AC ( D E AC)

Vẽ tia phân giác của ˆBDC cắt BC ở E

=> Ta đã xác định được điểm E

câu a ta có : <MAE = 90

suy ra tam giác MAE là tam giác vuông :< AME + <MEA = 90 ĐỘ ( đ/lí tổng 3 góc áp dụng vào tam giác vuông )

gọi n là giao điểm của EH và CD

vì <MND =90 độ suy ra <NMD +<MPN=90độ

vì cùng phụ nhau với < m suy ra <MEA =<MDN

xét tam giác ACD và tam giác AME :

AD =AE (GT)

<MEA=<MDN (cmt)

<CAD =<MAE =90độ (do AC vuông góc với MB )

SUY RA TAM GIÁC ACD = TAM GIÁC AME(G.C.G)

:A

bài này k cần vẽ hình ak bạn

Gọi Z là giao điểm của EH và CD

     Xét tam giác AME, ta có: 

          <MAE=90độ 

=> <M + <E1=90độ (1)

     Xét tam giác DZM, ta có:

          <Z1=90độ

=> <D1+ <M =90độ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

=> <D1= <E1( cùng phụ với M)

     Xét tam giác ACD và tam giác AME, ta có:

          <DAC= <EAM= 90độ

          AD=AE(giải thiết)

          <D1=<E1(chứng minh trên)

=> tam giác ACD=tam giác AME(g−c−g)

Chúc bạn thành công nha =)))